對時域信號計算傅里葉變換以檢查其在頻域中的行為。 傅里葉變換可用于信號和噪聲處理，圖像處理，音頻信號處理等領(lǐng)域。SciPy提供fftpack模塊，可讓用戶計算快速傅立葉變換。

以下是一個正弦函數(shù)的例子，它將用于使用fftpack模塊計算傅里葉變換。

快速傅立葉變換

下面來了解一下快速傅立葉變換的細節(jié)。

一維離散傅立葉變換

長度為N的序列x [n]的FFT y [k]由fft()計算，逆變換使用ifft()計算。 看看下面的例子

#Importing the fft and inverse fft functions from fftpackage
from scipy.fftpack import fft

#create an array with random n numbers
x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])

#Applying the fft function
y = fft(x)
print (y)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

[ 4.50000000+0.j          2.08155948-1.65109876j -1.83155948+1.60822041j
 -1.83155948-1.60822041j  2.08155948+1.65109876j]

再看另一個示例 -

#Importing the fft and inverse fft functions from fftpackage
from scipy.fftpack import fft
from scipy.fftpack import ifft

#create an array with random n numbers
x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])

#Applying the fft function
y = fft(x)
#FFT is already in the workspace, using the same workspace to for inverse transform

yinv = ifft(y)

print (yinv)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

[ 1.0+0.j  2.0+0.j  1.0+0.j -1.0+0.j  1.5+0.j]

scipy.fftpack模塊允許計算快速傅立葉變換。 作為一個例子，一個(嘈雜的)輸入信號可能看起來如下 -

import numpy as np
time_step = 0.02
period = 5.
time_vec = np.arange(0, 20, time_step)
sig = np.sin(2 * np.pi / period * time_vec) + 0.5 *np.random.randn(time_vec.size)
print (sig.size)

我們正以0.02秒的時間步長創(chuàng)建一個信號。 最后一條語句顯示信號sig的大小。 輸出結(jié)果如下 -

1000

我們不知道信號頻率; 只知道信號sig的采樣時間步長。 信號應(yīng)該來自實際函數(shù)，所以傅里葉變換將是對稱的。 scipy.fftpack.fftfreq()函數(shù)將生成采樣頻率，scipy.fftpack.fft()將計算快速傅里葉變換。

下面通過一個例子來理解這一點。

from scipy import fftpack
sample_freq = fftpack.fftfreq(sig.size, d = time_step)
sig_fft = fftpack.fft(sig)
print (sig_fft)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

array([ 
   25.45122234 +0.00000000e+00j,   6.29800973 +2.20269471e+00j,
   11.52137858 -2.00515732e+01j,   1.08111300 +1.35488579e+01j,
   …….])

離散余弦變換

離散余弦變換(DCT)根據(jù)以不同頻率振蕩的余弦函數(shù)的和表示有限數(shù)據(jù)點序列。 SciPy提供了一個帶有函數(shù)idct的DCT和一個帶有函數(shù)idct的相應(yīng)IDCT?？纯聪旅娴囊粋€例子。

from scipy.fftpack import dct
mydict = dct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))
print(mydict)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

[ 60.          -3.48476592 -13.85640646  11.3137085    6.          -6.31319305]

逆離散余弦變換從其離散余弦變換(DCT)系數(shù)重建序列。 idct函數(shù)是dct函數(shù)的反函數(shù)。 可通過下面的例子來理解這一點。

from scipy.fftpack import dct
from scipy.fftpack import idct
d = idct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))
print(d)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

[ 39.15085889 -20.14213562  -6.45392043   7.13341236   8.14213562
  -3.83035081]